chapter 2.2 Rank and Nullity of a Matrix and a Linear Transformation

chapter 2.2 Rank and Nullity of a Matrix and a Linear Transformation

three subspaces of Euclidean spaces associated with an m x n matrix:

row space, column space and null space of the matrix

->이 세 개의 부분공간에 대한 관계를 알아보자.

a는 m x n 행렬

 

 

그리고 A is an m x n matrix이고 linear transformation T(x) = Ax of Rn into Rm의 선형 변환이 존재.

# null space of A/ column space of A/ dimension of he null space of A/ dimension of the range of T

 

#relation between the kernel and image of A

따라서 0 < dim(Im(A)) = s < n

 

# 1. n = q + s 을 증명하기

*{w1, . . . ,ws} be a basis of Im(A)

->there are vectors vj ∈ Rn so that Avj = wj for j = 1, . . . , s

*{u1, . . . , uq} be a basis of ker(A)

 

=> {v1, . . . , vs, u1, . . . , uq} is a basis of Rn

그래서 n = q + s

 

# 2. Rn = sp({v1, . . . , vs, u1, . . . , uq})을 증명하기

v ∈ Rn, x1, . . . ,xs ∈ R such that Av = x1w1 +· · ·+xsws

wj = Avj라 두었을때, Av = x1Av1 +· · ·+xsAvs = A(x1v1 +· · ·+xsvs) 이고

=> Av − A(x1v1 + · · · + xsvs) = A(v − x1v1 −· · ·−xsvs) = 0.

=> v − x1v1 − · · · − xsvs ∈  ker(A)

또한  y1, . . . , yq ∈   R이면 v − x1v1 −· · ·−xsvs = y1u1 + · · · + yquq

=>v = x1v1 + · · · + xsvs + y1u1 + · · · + yquq

 

최종적으로 Rn = sp({v1, . . . , vs, u1, . . . , uq}) 을 보인다.

 

# 3. the set {v1, . . . , vs, u1, . . . , uq} is linearly independent

마지막으로 우리는 the set {v1, . . . , vs, u1, . . . , uq} is linearly independent 임을 보여야한다.

x1v1 +· · ·+xsvs +y1u1 + · · · + yquq = 0이 0이 되도록하는 x1, . . . ,xs, y1, . . . , yq ∈  R이 존재함을 가정

 

두 영역 중 한 부분(x1~xs)에 A를 곱했다.

->x1Av1 + · · · + xsAvs =x1w1 + · · · + xsws = 0이고

{w1, . . . ,ws} is a basis of Im(A)이 성립함에 따라 x1 = · · · , xs = 0이라고 볼 수 있다.

 

이제 y1u1 + · · · + yquq = 0 임을 증명하자

{u1, . . . , uq} is linearly independent인게 확인되고 따라서 y1 = · · · , yq = 0로 볼 수있다.

 

# Rank Equation

A be an m x n matrix and T be the linear transformationassociated with A, i.e., 

=> T(x) = Ax

 

 

*every vector in the row space of an m x n matrix A is orthogonal to all vectors in the null space

(m x n행렬 A의 row space에 있는 벡터는 null space의 모든 벡터들과 직교한다)

 

 Ax = 0 이라면 Ax = [bT1x, . . . , bTmx]T 일때, bi’s are orthogonal to x 이 성립한다.

ker(A)는 A의 row space의 직교 여집합
->A의 row space= n-dim(ker(A))=rank(A)

 

#rank의 특성들