2.3 Properties of Linear Transformations
1) Counterclockwise rotation
T : R2 -> R2 는 a mapping which rotates a vector in the plane counterclockwisely by an angle θ
그러면 T는 linear transformation 이다.
rotations T(v1) and T(v2) of two vectors v1 and v2은 길이와 두 벡터들의 각도를 보존한다.
그러므로 the rotations of tow vectors preserve the inner product, i.e., < T(v1), T(v2) >=< v1, v2 >.
그러므로 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2),T(rv) = rT (v)라 볼 수 있고 T는 linear 하다고 한다
2) Matrix representation of the counterclockwise rotation
3) Composition of two counterclockwise rotations
T1 과 T2는 counterclockwise rotations on the plane by the angle θ1과 θ2이다.
그리고 composition T1 º T2 는 counterclockwise rotations by the angels θ1 + θ2이다.
the composition of two linear transformations는 the matrix product of the associated
matrices으로 계산될 수 있다.
위의 결과들을 바탕으로 우리는 T : Rn -> Rn 는 a linear transformation 라고 볼 수 있다.
the rank of the associated matrix to T(A)는 n이고 역함수가능하다.
(T)-1 또한 linear combination 이다.
composition (T)-1 ºT 는 identity matrix I와 관련이 있음이 분명하고 linear combination (T)-1은 matrix (A)^-1과 관련이 있다. 왜냐하면 I = (A)^-1(A),,
1) Clockwise rotation(시계방향)
라는 A를 설정.
그러면 A는 θ만큼 시계반대방향으로 (counterclockwisely)벡터가 회적하는 linear transformation에 관련된 matrix 이다.
inverse transformation은 θ만큼 시계반대방향으로 (= -θ만큼 시계방향으로)벡터를 회전시켜야만 한다.
그 inverse (T)^-1과 관련된 matrix는 다음과 같이 보여진다.
2) Find the inverse transformation of T
R3 -> R3 with that T([x1, x2, x3]) = [x1 − 2x2 + x3, x2 − x3, 2x2 − 3x3] if it exists.
ex)First find the associated matrix A
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